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重心是什么的交點(diǎn)有什么性質(zhì)

回答
瑞文問(wèn)答

2024-07-10

重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1,重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等,重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

擴(kuò)展資料

  證明一

  1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1。

  例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中點(diǎn)。EC、FB交于G。

  求證:EG=1/2CG

  證明:過(guò)E作EH∥BF交AC于H。

  ∵AE=BE,EH//BF

  ∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

  又∵ AF=CF

  ∴HF=1/2CF

  ∴HF:CF=1/2

  ∵EH∥BF

  ∴EG:CG=HF:CF=1/2

  ∴EG=1/2CG

  方法二 連接EF

  利用三角形相似

  求證:EG=1/2CG 即證明EF=1/2BC

  利用中位線可證明EF=1/2BC利用中位線可證明EF=1/2BC

  2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

  證明方法:

  在△ABC內(nèi),三邊為a,b,c,點(diǎn)O是該三角形的重心,AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據(jù)重心性質(zhì)知:

  OA'=1/3AA'

  OB'=1/3BB'

  OC'=1/3CC'

  過(guò)O,A分別作a邊上高OH',AH

  可知OH'=1/3AH

  則,S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

  同理可證S△AOC=1/3S△ABC

  S△AOB=1/3S△ABC

  所以,S△BOC=S△AOC=S△

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