探索題例談
探索型題是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)新教材新增加的一種題型，從一年級到九年級由易到難始終有這樣的題型。探索型題涉及數(shù)學(xué)知識較廣，做這類題的關(guān)鍵應(yīng)從觀察已知式的變化特點入手，找出規(guī)律，并正確地用數(shù)學(xué)術(shù)語或式子表示出來。
例1．7．023023……是一個循環(huán)小數(shù)，請?zhí)剿餍?shù)點后第10位﹑100位﹑998位﹑999位等第n位上的數(shù)字是多少？
分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，7．023023…這個數(shù)的循環(huán)節(jié)是“023”，三位數(shù)。小數(shù)點后第10位的數(shù)字應(yīng)該這樣探索：
10÷3=3……1
3次
7.
↓
第9位
第10位上的數(shù)字是0；
同理，100÷3=33……1
33次
7.
↓
第99位
第100位上的數(shù)字是0；
998÷3=332…2
7. 2
↓第996位
第998位上的數(shù)字是2；
999÷3=333
333次
7.
第999位上的數(shù)字是3；
n÷3=a……b（b=0﹑1﹑2）
當(dāng)b=0是，第n位的數(shù)字3,
當(dāng)b=1是，第n位的數(shù)字0,
當(dāng)b=2是，第n位的數(shù)字2。
例2．不計算，運用規(guī)律直接寫得數(shù)。
6×7=42
6.6×6.7=44.22
6.66×66.7=_________
6.666×666.7=________
分析:通過觀察發(fā)現(xiàn),兩個因數(shù)的整數(shù)部分共有幾位數(shù),積的整數(shù)部分就有幾個4；兩個因數(shù)的小數(shù)部分共有幾位數(shù)，積的小數(shù)部分就有幾個2。
﹙n-1﹚個、﹙n-1﹚個、n個、n個
即、6. × .7= .
例3．研究探索下列算式，你會得到什么規(guī)律？
1×3+1=4=2
2×4+1=9=3
3×5+1=16=4
．．．．．．
請將你找到的規(guī)律用式子表示出來：
n(n+2)+1=(n+1) (n是大于1或等于1的自然數(shù))
分析：等號左邊是兩數(shù)之積再與1的和，兩數(shù)之積的第一個因數(shù)分別是1、2、3…是n從1開始的自然數(shù),第二個因數(shù)分別是3、4、5…當(dāng)n＝１時，3表示1+2，當(dāng)n＝2時，4表示2+2，當(dāng)n＝3時，5表示3+2…當(dāng)n＝n時,這個數(shù)表示為n+2,等號右邊是某個數(shù)的平方,這些數(shù)分別是2 、3 、4 、5 …，當(dāng)n＝１時，2 表示為(1+1) ；當(dāng)n＝2時，3 表示為(2+1) ；當(dāng)n＝3時，4 表示為
(3+1) …當(dāng)n＝n時,這個數(shù)表示為(n+1) 。
因此，這個規(guī)律可表示為n(n+2)+1=(n+1) （n為大于或等于1的自然數(shù)）。
例4．經(jīng)過計算： ， = ， ，
，觀察上述結(jié)果的規(guī)律，并把此結(jié)果的特點寫成一般表達式：
。
于是， + + +… 的計算結(jié)果為1- (是大于或等于1的自然數(shù))。
分析：從已知觀察， 可表示為 則，
+ + +… = + + +…+ - + - 。除第一項和最后一項外，其他的和為0，最后的結(jié)果為1- (是大于或等于1的自然數(shù))。
做探索型題的關(guān)鍵是觀察--歸納--猜想，探索型題是數(shù)學(xué)推理的應(yīng)用。數(shù)學(xué)推理包括分析、綜合、抽象概括等演繹推理方式，而做探索型題要有分析能力、歸納能力、猜想能力。這是對數(shù)學(xué)探索研究的一般思維方法。
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