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高中必修一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(2)

學(xué)習(xí)總結(jié) 時(shí)間:2018-04-23 我要投稿
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  (1)任取x1,x2∈D,且x1

  (2)作差f(x1)-f(x2);或者做商

  (3)變形(通常是因式分解和配方);

  (4)定號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));

  (5)下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

  (B)圖象法(從圖象上看升降)

  (C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

  復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”

  注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集.

  8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

  (1)偶函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

  (2)奇函數(shù):一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

  (3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

  9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

  ○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

  ○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;

  ○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數(shù).

  注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱,(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來(lái)判定; (3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .

  10、函數(shù)的解析表達(dá)式

  (1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

  (2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法

  11.函數(shù)最大(小)值

  ○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

  ○2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

  ○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

  第三章 基本初等函數(shù)

  一、指數(shù)函數(shù)

  (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

  1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 >1,且 ∈ *.

  負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作 。

  當(dāng) 是奇數(shù)時(shí), ,當(dāng) 是偶數(shù)時(shí),

  2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

  正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

  ,

  0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義

  3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

  (1) • ;

  (2) ;

  (3) .

  (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

  1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)镽.

  注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.

  2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

  a>1 0

  定義域 R 定義域 R

  值域y>0 值域y>0

  在R上單調(diào)遞增 在R上單調(diào)遞減

  非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)

  函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1) 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)

  注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:

  (1)在[a,b]上, 值域是 或 ;

  (2)若 ,則 ; 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ;

  (3)對(duì)于指數(shù)函數(shù) ,總有 ;

  二、對(duì)數(shù)函數(shù)

  (一)對(duì)數(shù)

  1.對(duì)數(shù)的概念:

  一般地,如果 ,那么數(shù) 叫做以 為底 的對(duì)數(shù),記作: ( — 底數(shù), — 真數(shù), — 對(duì)數(shù)式)

  說(shuō)明:○1 注意底數(shù)的限制 ,且 ;

  ○2 ;

  ○3 注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式.

  兩個(gè)重要對(duì)數(shù):

  ○1 常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù) ;

  ○2 自然對(duì)數(shù):以無(wú)理數(shù) 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) .

  指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

  冪值 真數(shù)

  = N = b

  底數(shù)

  指數(shù) 對(duì)數(shù)

  (二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

  如果 ,且 , , ,那么:

  ○1 • + ;

  ○2 - ;

  ○3 .

  注意:換底公式: ( ,且 ; ,且 ; ).

  利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論:(1) ;(2) .

  (3)、重要的公式 ①、負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù); ②、 , ③、對(duì)數(shù)恒等式

  (二)對(duì)數(shù)函數(shù)

  1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù) ,且 叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中 是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).

  注意:○1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如: , 都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).

  ○2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制: ,且 .

  2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

  a>1 0

  定義域x>0 定義域x>0

  值域?yàn)镽 值域?yàn)镽

  在R上遞增 在R上遞減

  函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1,0) 函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1,0)

  (三)冪函數(shù)

  1、冪函數(shù)定義:一般地,形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中 為常數(shù).

  2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.

  (1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1);

  (2) 時(shí),冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn),并且在區(qū)間 上是增函數(shù).特別地,當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;

  (3) 時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng) 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在 軸右方無(wú)限地逼近 軸正半軸,當(dāng) 趨于 時(shí),圖象在 軸上方無(wú)限地逼近 軸正半軸.

  第四章 函數(shù)的應(yīng)用

  一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

  1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對(duì)于函數(shù) ,把使 成立的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù) 的零點(diǎn)。

  2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù) 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

  即:方程 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數(shù) 有零點(diǎn).

  3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:

  ○1 (代數(shù)法)求方程 的實(shí)數(shù)根;

  ○2 (幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來(lái),并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

  4、二次函數(shù)的零點(diǎn):

  二次函數(shù) .

  (1)△>0,方程 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

  (2)△=0,方程 有兩相等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

  (3)△<0,方程 無(wú)實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn),二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

  5.函數(shù)的模型

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